Как да вмъкна стойности в PHP масив в MySQL таблица?

Просто забравихте да зададете правилно кавичките. Ето правилния синтаксис:

$insert_query = "INSERT INTO user (name, email, phone) 
                 VALUES ('".$arr['name']."',
                         '".$arr['email']."', 
                         '".$arr['phone']."')";