Не получавате специален PostgreSQL сървър с Heroku Postgres. Вашите бази данни се намират заедно с базите данни на други потребители на същия сървър. Ще можете да видите имената на базите данни на други потребители, но няма да имате достъп до тях.
Не съм сигурен какво означава „срив на компютъра ми“, но се уверете, че избирате вашия база данни при опит за свързване.
