Как да публикувам данни в колекция mongo с помощта на Mean stack?

Проследяването на стека на грешка Angular е много ясно.
Вие не обработвате тази конкретна крайна точка за вашата POST заявка във вашия експресен рутер.

Така че сървърът извежда 404 грешка , както трябва.

Опитайте нещо подобно:

router
    .post('/api/users', function (req, res) {
       // do what you want with your user here
    })

С express (и NodeJS) трябва изрично да посочите всеки достъп до сървърните ресурси.

Като странична бележка, вие сте доста близо до това, но се опитайте да поддържате логиката на приложението си проста за поддръжка.