Как да получите достъп до mysqli връзка в друг клас на друга страница?

Вашата DBConnection клас ще се нуждае от допълнителен метод:

public function getLink()
{
    return $this->mysqli;
}

Изглежда, че вашият оригинален User class беше подклас на DBConnection , защото mysqli свойство на DBConnection е protected и User клас има parent::__construct() обадете се.

По-добре е да използвате инжектиране на зависимост, така че вашият User клас ще получи връзката си с базата данни чрез конструктора:

public function __construct(DBConnection $db)
{
    $this->mysqli = $db->getLink();
}

След това от вашия код можете да стартирате:

$db = new DBConnection;
$uObj = new User($db);