Опитвате се да получите свойство на необект

Проверете ръководството за mysql_fetch_object() . Връща обект, а не масив от обекти.

Предполагам, че искате нещо подобно

$results = mysql_query("SELECT * FROM sidemenu WHERE `menu_id`='".$menu."' ORDER BY `id` ASC LIMIT 1", $con);

$sidemenus = array();
while ($sidemenu = mysql_fetch_object($results)) {
    $sidemenus[] = $sidemenu;
}

Мога ли да ви предложа да разгледате PDO. PDOStatement::fetchAll(PDO::FETCH_OBJ) прави това, което сте предположили mysql_fetch_object() да направя