Дали трябва или не да поставите буркан в директорията lib на Tomcat зависи от това дали Tomcat трябва да знае за това или не. И това зависи от това как конфигурирате нещата.
Като общо правило, ако споменавате клас в конфигурационен файл на Tomcat, тогава този клас (и тези, от които зависи) трябва да бъде в директорията lib на Tomcat.
Например, ако конфигурирате вашия DataSource в конфигурационните файлове на Tomcat, тогава трябва да направите вашия клас драйвер достъпен за Tomcat. Ако вместо това конфигурирате вашия DataSource в кода на вашето приложение, тогава не го правите.
Не посочвате как конфигурирате C3P0, така че не можем да ви кажем къде трябва да бъде бурканът. Разбира се, ако Tomcat се нуждае от него и го няма, тогава трябва да очаквате да видите регистрирано изключение и нещата няма да работят правилно.