Изберете първия запис, ако никой не съвпада

Вие сте на прав път. Просто добавете order by :

SELECT street, zip, city
FROM address
WHERE street LIKE 'Test%' OR ord = 0
ORDER BY (CASE WHEN street LIKE 'Test%' THEN 1 ELSE 0 END) DESC
LIMIT 1;

Или алтернативно:

ORDER BY ord DESC

Всяко от тях ще постави ord = 0 ред последен.

РЕДАКТИРАНЕ:

Ървин изтъква добър момент, че от гледна точка на използването на индекса, OR в WHERE клаузата не е най-добрият подход. Бих променил отговора си на:

SELECT *
FROM ((SELECT street, zip, city
       FROM address
       WHERE street LIKE 'Test%'
       LIMIT 1
      )
      UNION ALL
      (SELECT street, zip, city
       FROM address
       WHERE ord = 0
       LIMIT 1
      )
     ) t
ORDER BY (CASE WHEN street LIKE 'Test%' THEN 1 ELSE 0 END) DESC
LIMIT 1;

Това позволява на заявката да използва два индекса (street и ord ). Имайте предвид, че това е наистина само защото LIKE моделът не започва с заместващ знак. Ако LIKE шаблонът започва с заместващ знак, след което тази форма на заявката ще направи пълно сканиране на таблицата.