Mongodb заявка за вложени елементи на масив

Тъй като няма начин да разберете какъв драйвер използвате, тук е шел решение:

db.foo.find({
    "Asset.Metadata.Platforms.Platform": {
        $elemMatch: {
            "@name": VAR_PLATFORM,
            "PublishingRanges.PublishingRange": {
                $elemMatch: {
                    "@startdate": {$gt: VAR_START},
                    "@enddate": {$lt: VAR_END}
                }
            }
        }
    }  
})

Между другото, можете да опростите структурата на документа, като пропуснете Platform и PublishingRange и присвояване на масиви към Platforms an PublishingRanges съответно.