Интересен въпрос, това ще свърши работа
db.multiArr.find({'Keys':{$elemMatch:{$elemMatch:{$in:['carrot']}}}})
$elemMatch
използва се за проверка дали даден елемент в масива съвпада с посочения израз за съвпадение. така вложен $elemMatch
ще навлезе по-дълбоко във вложените масиви
Тестови данни
db.multiArr.insert({"ID" : "fruit1","Keys" : [["apple", "carrot", "banana"]]})
db.multiArr.insert({"ID" : "fruit2","Keys" : [["apple", "orange", "banana"]]})
db.multiArr.find({'Keys':{$elemMatch:{$elemMatch:{$in:['carrot']}}}})
{ "_id" : ObjectId("506555212aeb79b5f7374cbf"), "ID" : "fruit1", "Keys" : [ [ "apple", "carrot", "banana" ] ] }
db.multiArr.find({'Keys':{$elemMatch:{$elemMatch:{$in:['banana']}}}})
{ "_id" : ObjectId("506555212aeb79b5f7374cbf"), "ID" : "fruit1", "Keys" : [ [ "apple", "carrot", "banana" ] ] }
{ "_id" : ObjectId("5065587e2aeb79b5f7374cc0"), "ID" : "fruit2", "Keys" : [ [ "apple", "orange", "banana" ] ] }