AutoCompleteTextView с MySQL данни

Просто се нуждаете от някакъв механизъм, който ще "наблюдава" промените във вашето поле за въвеждане и най-правилният начин как да го постигнете е споменат TextWatcher

И така, внедрете го и в някакъв метод, който предоставя TextWatcher например onTextChanged() , задайте данни от полето за въвеждане и ги изпратете като параметър към AsyncTask и в onPostExecute() създава нов адаптер за вашия AutoCompleteTextView с данни, извлечени от MySQL и задайте адаптер към вашата джаджа и сте го получили.

Псевдокод:

public void onTextChanged(CharSequence s, int start, int before, int count) {
   if (s.length() > 1) {
      insertString = s.toString();
      new YourTask().execute(insertString);                  
   }
}

и във вашата AsyncTask изпълнете нещо подобно:

protected List<String> doInBackground() {
   // fetchning data from MySQL
   return list;
}

public void onPostExecute(List<String> result) {
   if (!result.isEmpty()) {
       SomeAdapter adp = new SomeAdapter(context, layout, result);
       actv.setAdapter(adp);
   }
}

Забележка: Във вашия случай е по-лесно да направите своя AsyncTask вътрешен клас на вашата Activity клас и имате директен достъп до UI компоненти, без да ги предавате през конструктор.