Логика за проверка на вече съществуващ запис, но само в случай на актуализирани стойности на формуляра

в частта за редактиране:
опитайте се да сравните ID на редактиран запис, вместо да сравнявате стари/нови имена, напр.

$sql = "SELECT county_id FROM counties WHERE country='$country' AND county_name='$county_name' AND country_id !='$id' LIMIT 1";