$query = "SELECT* FROM nametable WHERE names LIKE '$partialstring%' ";
Добавих % само от дясната страна, тъй като бихте искали да имате само думите, които започват с въведените букви.
Въпреки това, моля, не използвайте тази заявка, докато не я филтрирате срещу SQL инжекции.