От грешката, която публикувах, предполагам, че имате някаква липсваща mysql зависимост.
_mysql.c:44:10: fatal error: my_config.h: No such file or directory
44 | #include "my_config.h"
| ^~~~~~~~~~~~~
Разглеждате страницата на github за mysqlclient може би бихте могли да опитате да стартирате:
sudo apt-get install python3-dev default-libmysqlclient-dev build-essential
Според моя опит липсва .h файл обикновено означава, че липсва библиотека за разработка на вашия компютър, от която се нуждае разширението на python
