Избягате от $ в променливата, като направите \$ .Опитайте:
$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
РЕДАКТИРАНЕ
От дискусията по-долу.
Проблемът с undefined index е фактът, че използвате $row['age'] когато наистина, името на колоната в базата данни е Age . Следователно трябва да използвате $row['Age'] при позоваване на артикула. Същото важи и за name .