Избягате от $
в променливата, като направите \$
.Опитайте:
$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
РЕДАКТИРАНЕ
От дискусията по-долу.
Проблемът с undefined index
е фактът, че използвате $row['age']
когато наистина, името на колоната в базата данни е Age
. Следователно трябва да използвате $row['Age']
при позоваване на артикула. Същото важи и за name
.