Как да проверя дали JDBC драйверът е инсталиран правилно и дали DB може да бъде свързан?

Просто проверете дали Class#forName() на JDBC драйвера не хвърля ClassNotFoundException .

try {
    Class.forName(driverClassName);
    // Success.
}
catch (ClassNotFoundException e) {
    // Fail.
}

Просто проверете дали DriverManager#getConnection() или DataSource#getConnection() не хвърля SQLException .

try (Connection connection = DriverManager.getConnection(url, username, password)) {
    // Success.
}
catch (SQLException e) {
    // Fail.
}

Вижте също

• Урок за изключения
• JDBC+MySQL мини урок