REGEXP и LIKE се използват за напълно различни случаи.
LIKE се използва за добавяне на заместващи знаци към низ, докато REGEXP се използва за съпоставяне на атрибут с регулярни изрази.
Във вашия случай firstname е по-вероятно да се съпостави с помощта на LIKE отколкото REGEXP и следователно ще бъде по-оптимизиран.
