Ако искате да видите какво се изпълнява в базата данни, използвайте dd(DB::getQueryLog())
за да видите какви заявки са стартирани.
Опитайте това
BookingDates::where('email', Input::get('email'))
->orWhere('name', 'like', '%' . Input::get('name') . '%')->get();