Как да използвам C# за вмъкване на документ в съществуващи вградени документи?

Това работи, забележете използването на Push - иначе е същият като зададения подход по-горе (вижте третата актуализация)

var update = Builders<Customer>.Update.Push("Invoices", new Invoice
            {
                ClientName = "HELLO"
            });

var result = collection.UpdateOneAsync(filter, update);