Как да $push поле в зависимост от условие?

Имате нужда от предварителен $match етап във вашия конвейер, за да изберете само онези документи, където "действие" не е равно на "изчакване".

db.collection.aggregate([
    { "$match": { "action": { "$ne": "wait" } } },
    { "$group": { 
        "_id": "$user.name", 
       "actions": { "$push": "$action" }, 
       "total": { "$sum": 1 } 
    }}
])