Поставяне на данни за курсора в масив

names.add(cursor.getString(i));

"i" не е индексът на реда на курсора, а индексът на колоната. Курсорът вече е позициониран върху конкретен ред. Ако трябва да преместите курсора си. Използвайте cursor.move или moveToXXXX (вижте документацията).

За getString/Int/Long и т.н. просто трябва да кажете на курсора коя колона искате. Ако не знаете columnIndex, можете да използвате cursor.getColumnIndex("yourColumnName") .

Вашият цикъл трябва да изглежда така:

public String[] getContacts(){
    Cursor cursor = getReadableDatabase().rawQuery("SELECT name FROM contacts", null);
    cursor.moveToFirst();
    ArrayList<String> names = new ArrayList<String>();
    while(!cursor.isAfterLast()) {
        names.add(cursor.getString(cursor.getColumnIndex("name")));
        cursor.moveToNext();
    }
    cursor.close();
    return names.toArray(new String[names.size()]);
}