Редът final DatabaseHandler db = new DatabaseHandler(getActivity()); е деклариран в горната част на вашия клас и така нататък създаването на вашия фрагмент getActivity() ще върне нулева препратка.
Ако го преместите вътре в метода onCreate(), ще имате препратка към дейността, която вашият манипулатор на db може да използва.
