SQL Server добавя първичен ключ за автоматично увеличение към съществуващата таблица

Не - трябва да го направите обратното:добавете го веднага от самото начало като INT IDENTITY - ще се попълни със стойности за идентичност, когато направите това:

ALTER TABLE dbo.YourTable
   ADD ID INT IDENTITY

и след това можете да го направите първичен ключ:

ALTER TABLE dbo.YourTable
   ADD CONSTRAINT PK_YourTable
   PRIMARY KEY(ID)

или ако предпочитате да направите всичко в една стъпка:

ALTER TABLE dbo.YourTable
   ADD ID INT IDENTITY
       CONSTRAINT PK_YourTable PRIMARY KEY CLUSTERED