Изглежда не мога да разбера как да актуализирам последното си време за влизане

Във вашата заявка тук:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Опитайте да премахнете кавичките около date_last_inlog или да ги промените на обратни отметки:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Освен това не използвайте mysql_* функции, използвайте mysqli или PDO вместо. Вашият код е уязвим към SQL инжекция.