Как да проверя varchar с водещи нули в mysql

Получавате същия резултат без водещите нули.
Използвайте целочислен тип данни, за да сравнявате целочислени стойности.
Можете също така да конвертирате стойностите в движение с помощта на cast:

Вашият пример с Cast:

select if( cast('00160001' as unsigned) between cast('0013001' as unsigned)  
and cast('0023000' as unsigned),1,0) as test_a,  
if( cast('00200000' as unsigned) between cast('0013001' as unsigned)   
and cast('0023000' as unsigned),1,0) as test_b;