Как да актуализирате MySQL колона въз основа на въвеждане в квадратче за отметка

Няколко проблема, които открих във вашите запитвания

Това

SELECT * FROM announce WHERE id == $ids

Би трябвало да е

SELECT * FROM announce WHERE id = '$ids'

И това

UPDATE announce SET approv = 'approved'WHERE id == $idan

Би трябвало да е

UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$idan'

Вашето квадратче за отметка също няма атрибут value

<input type="checkbox" name="approv[]" value="<echo your table row id here>" />

След това използвайте

foreach($_POST['approv'] as $apprValue)
{
    mysql_query(UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$apprValue');
}

От друга страна, моля, не използвайте функциите на mysql_* повече. Те скоро ще бъдат оттеглени. По-добре е да използвате mysqli или PDO