Как да актуализирате базата данни, докато поставяте отметка в квадратчето с jquery?

Почти го имаш. просто трябва да прочетете състоянието на квадратчето си за отметка и да го изпратите обратно с вашата POST заявка.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });