Как мога да проверя дали MySQL и Tomcat работят?

Най-простият начин би бил просто да свържете сървъра и да видите дали е успешен.

MySQL:

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Tomcat:

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Ако искате малко по-конкретно състояние, напр. проверявайки дали е налична определена DB таблица или е наличен специфичен ресурс на уеб приложение, тогава трябва да задействате по-специфичен SELECT изявление или HTTP заявка съответно.