Преди всичко може да искате да преименувате функциите във вашите модели в множествено число, тъй като няма една, а много от връзката.
Така че във вашия потребителски модел добавете това:
public function kids()
{
return $this->belongsToMany(Kid::class);
}
И във вашия модел Kid:
public function users()
{
return $this->belongsToMany(User::class);
}
След това, за да запазите в обобщената таблица, тъй като именуването на таблицата ви е правилно, просто направете:
$user->kids()->attach($kid);
Ще го запази правилно в централната таблица. Първо се уверете, че имате съществуващи потребител и дете за променливите. Повече подробности тук