PHP - прост вложен неподреден списък (UL) масив

Това трябва да свърши работа:

$result = mysql_query("SELECT * FROM News");
$topicname = '';

// open list of topics
echo '<ul>';

// loop through topics
while($row = mysql_fetch_array($result)) {
    if (!$row['TopicID']) {
        // fake topic name for unsorted stuff
        $row['TopicName'] = 'Sort Me';
    }
    if ($topicname != $row['TopicName']) {
        if($topicname != ''){
            // had a topic name, means we opened a list
            // that hasn't been closed, close it.
            echo '</ul>';
        }
        // print this topic and open the list of articles
        echo '<li>' . $row['TopicName'] . '</li><ul>';
        // update the current topic to be this TopicName
        $topicname = $row['TopicName']; 
    }
    // the news item
    echo '<li>' . $row['NewsID'] . '"</li>';
}
if($topicname != ''){
    // we saw at least one TopicName, we need to close
    // the last open list.
    echo '</ul>';
}
// end topic list
echo '</ul>';

Мисля, че истинският ви проблем е, че всеки път отваряхте два списъка, но затваряхте само един (дори премествайки последния блок в списъка).

За втората част на вашия (нов) въпрос:

Ще предупредя, че за по-големи списъци (да речем, повече от 300 артикула) компромисът, който правя по отношение на съхраняването на списъка в паметта и итерацията два пъти, вместо просто да запитвам за необходими бройки, ще се промени в другата посока. Тоест, решението по-долу поставя всичко в паметта, след което повтаря втори път, за да го отпечата; алтернатива би била да изпълните две заявки, едната за намиране на броя на уникалните имена на теми и една за намиране на общия брой елементи в списъка.

Освен това, за показване, наистина искате да решите някаква оптимизация за оформление, аз ще направя това наивно и просто ще направя (приблизително) равен брой теми на колона и когато разделението не работи, това ще се оттегли вляво. Ще видите къде можете да настроите или замените някакъв код, за да получите различни (и по-добри?) резултати.

$columns = // user specified;

$result = mysql_query("SELECT * FROM News");
$num_articles = 0;

// $dataset will contain array( 'Topic1' => array('News 1', 'News2'), ... )
$dataset = array();
while($row = mysql_fetch_array($result)) {
    if (!$row['TopicID']) {
        $row['TopicName'] = 'Sort Me';
    }
    $dataset[$row['TopicName']][] = $row['NewsID'];
    $num_articles++;
}

$num_topics = count($dataset);

// naive topics to column allocation
$topics_per_column = ceil($num_topics / $columns);

$i = 0; // keeps track of number of topics printed
$c = 1; // keeps track of columns printed
foreach($dataset as $topic => $items){
    if($i % $topics_per_columnn == 0){
        if($i > 0){
            echo '</ul></div>';
        }
        echo '<div class="Columns' . $columns . 'Group' . $c . '"><ul>';
        $c++;
    }
    echo '<li>' . $topic . '</li>';
    // this lists the articles under this topic
    echo '<ul>';
    foreach($items as $article){
        echo '<li>' . $article . '</li>';
    }
    echo '</ul>';
    $i++;
}
if($i > 0){
    // saw at least one topic, need to close the list.
    echo '</ul></div>';
}