Как мога да използвам $_get с функцията build_categories_options

За всяка категория показвате две опции, празна опция и една с информация за категорията:

$category_string .= '<option value=""></option><option value="'.$category['catid'].'">'.$opt_value.'</option>';

Това е във вашия цикъл. Така че всеки път, когато цикълът ви повтори, две ще бъдат създадени опции. Празен и един с вашата категория. Обзалагам се, че имате нужда само отедна празна опция в самото начало на <select> . Мисля, че това искаше:

// notice we are initializing $category_string with an empty option here
$category_string = '<option value=""></option>';

function build_categories_options($parent, $categories, $level) {
    global $category_string;
    if (isset($categories[$parent]) && count($categories[$parent])) {
        $level .= " - ";
        foreach ($categories[$parent] as $category) {
            $opt_value = substr($level.$category['catname'],3);

            // removed extra empty category and put it in $category_string initialization
            $category_string .= '<option value="'.$category['catid'].'">'.$opt_value.'</option>';
            build_categories_options($category['catid'], $categories, $level);
        }
        $level = substr($level, -3);
    }
    return $category_string;
}

Също така, както @MoeTsao спомена в коментарите, опитайте се да избягвате използването на mysql_* функции, тъй като използването им не се насърчава от PHP. Вместо това използвайте mysqli_* или PDO .