Как да използвам квадратчетата за отметка, за да въведете вярно (1) или false (0) в mySQL И да покажете като отметнато в php / html форма?

Трябва да дадете на квадратчетата за отметка изричен индекс в HTML:

$i = 0;
while($shift_query = $result_shift_query->fetch_assoc())
    {
    echo "<tr>";    
    echo "<td><input type=\"hidden\" name=\"Shift_ID[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Name[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Short_Name[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Color[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"checkbox\" name=\"Shift_Trig[$i]\"";
        if($shift_query['Shift_Trig'] == '1')
            {
            echo " checked=\"checked\"";
            }
    echo " value=\"1\"></td>";
    echo "<td><input type=\"checkbox\" name=\"deleteBox[$i]\"></td>";
    echo "</tr>";
    $i++;
    }

В кода за актуализиране, в началото на цикъла, направете:

    if (!isset($trig[$i])) { $trig[$i] = 0; }

Останалата част от кода за актуализация е непроменена.