Как да получа стойност от mysql заявка извън израза на заявката?

tl;dr всичко се случва при обратно повикване.

Вие се спъвате в асинхронния характер на Javascript. По времето, когато вашият console.log(value); повикването се изпълнява, заявката не е (непременно) завършена. Така че няма начин резултатът от заявката да бъде наличен в този момент.

Много разработчици използват модел като този, с функция за обратно извикване, за да се справят със следващата стъпка, когато пристигне резултатът от заявката.

function quo (success){
    value = connection.query(
       'SELECT role from `roles` where `id` = 1' , 
       function (error, results, fields) {
           if (error) throw error;
           console.log('The role is: ', results[0].role);
           success (results[0].role);
       });
}

quo (function (role) {
   console.log(role);
   /* do something useful with the role that came back from the query */
});

Promise обекти правят този тип неща по-лесни за четене в node.js. Но обяснението им е извън обхвата на отговор на Stack Overflow.