Как да преброим колко лекари са записани от всеки пациент?

Използвайте Групиране по временна таблица с отделни пациент и лекар

 select Patient, count(*)
 from (
 select distinct Bookings.PatientID as Patient ,DoctorID as Doctors 
 from Bookings  ) as t

 Group by Patient;