Laravel - Невалиден номер на параметър:параметърът не е дефиниран

Заявката ви е неуспешна, защото използвате повторно параметри в заявката си. Laravel използва PDO за своите SQL заявки. Според документите :

Така че, въпреки че имат една и съща стойност, ще трябва да преименувате тези параметри.

$results = \DB::select('SELECT client_id,
                           date_format(start_date,"%d/%m/%Y") as start_date,
                           date_format(end_date,"%d/%m/%Y") as end_date,
                           first_name, last_name, phone, postcode
                        FROM hire INNER JOIN client ON client.id = hire.client_id
                        where ((:sdate between start_date and end_date OR :edate between start_date and end_date) OR (:sdate2 <= start_date and end_date <= :edate2)) AND car_id = :car_id', [
    'sdate'  => $start_date,
    'sdate2'  => $start_date,
    'edate'  => $end_date,
    'edate2'  => $end_date,
    'car_id' => $car_id
]
);