log_date трябва да е от тип данни DateTime. Много по-лесно е да използвате MySQL DATE функцията. Някои примери
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) < '2013-05-05'
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) > '2013-05-05'
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) BETWEEN '2013-04-05' AND '2013-05-05'
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) BETWEEN DATE(CURRENT_DATE() - INTERVAL 2 WEEK) AND
DATE(CURRENT_DATE() + INTERVAL 4 DAY)