Прост Ajax Jquery скрипт - Как мога да получа информация за всеки от редовете в таблицата?

Старото разширение MySQL mysql е остарял, по-добре използвайте mysqli или PDO !

mysql_fetch_row() връща само 1 ред! Трябва да го поставите в цикъл, например:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Трябва също да промените JavaScript:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Между другото бих ви препоръчал да използвате mysql_fetch_assoc() защото прави кода ви по-гъвкав и по-чист.