MySQL присъединява много към много единичен ред

Имате нужда от две обединявания:

SELECT
    product.productID,
    category.categoryID,
    product.name,
    product.price,
    category.name
FROM product
JOIN product_cat ON product.productID = product_cat.productID
JOIN category ON category.categoryID = product_cat.categoryID

Ако даден продукт може да не е в никакви категории и все пак искате да го върнете, променете JOIN на LEFT JOIN и на двете места.

Алтернативен подход:

SELECT
    product.productID,
    product.name,
    product.price,
    GROUP_CONCAT(category.name)
FROM product
JOIN product_cat ON product.productID = product_cat.productID
JOIN category ON category.categoryID = product_cat.categoryID
GROUP BY product.productID

Въпреки това може да е по-добре просто да използвате две заявки, вместо да поставяте множество стойности в една клетка.