Вземете данни от mysql база данни с помощта на php и jquery ajax

Има две синтактични грешки във вашето ajax извикване:

$(document).ready(function(){
    function showRoom(){
        $.ajax({
            type:"POST",
            url:"process.php",
            data:{action:"showroom"},
            success:function(data){
                $("#content").html(data);
            }
        });
    }
    showRoom();
});

Имайте предвид, че ajax на jQuery очаква обект като параметър. Вътре в обект синтаксисът е

{ key : value }

Имахте type="POST", което е правилно в декларативния синтаксис, но неправилно при дефиниране на обектен ключ.

Второ, свойството на данните на гореспоменатия обект също трябва да бъде обект. Така че вместо action=showroom трябва да бъде

{action:"showroom"}