Използвайте:
SELECT x.client_id,
x.project_id,
x.project_name
FROM (SELECT t.client_id,
t.project_id,
t.project_name,
CASE
WHEN @client_id != t.client_id THEN @rownum := 0
WHEN @client_id = t.client_id THEN @rownum := @rownum + 1
ELSE @rownum
END AS rank,
@client_id := t.client_id
FROM TABLE t,
(SELECT @rownum := 0, @client_id
ORDER BY t.client_id) r) x
ORDER BY x.rank, x.client_id
MySQL няма никаква функционалност за класиране, но за щастие можете да използвате променливи. Ключът беше нулиране на стойността @rownum, когато client_id не съвпада с предишния client_id - ORDER BY в подзаявката е да гарантира, че клиентите са в ред.