как да предам нулева стойност на поле за външен ключ?

Просто разреши колона university_id на таблица user за да разрешите NULL стойност, за да можете да запазвате нулеви числа .

CREATE TABLE user
(
   uid INT NOT NULL,
   Name VARCHAR(30) NOT NULL, 
   university_ID INT NULL,    -- <<== this will allow field to accept NULL
   CONSTRAINT user_fk FOREIGN KEY (university_ID)
       REFERENCES university(university_ID)
)

АКТУАЛИЗИРАНЕ 1

въз основа на вашия коментар, трябва да вмъкнете NULL а не '' .

insert into user (name,university_id) values ('harjeet', NULL)

АКТУАЛИЗИРАНЕ 2

$university_id = !empty($university_id) ? "'$university_id'" : "NULL";
insert into user (name,university_id) values ('harjeet', $university_id);

Като странична бележка, заявката е уязвима с SQL Injection ако стойността (s ) на променливите идват отвън. Моля, разгледайте статията по-долу, за да научите как да предотвратите това. С помощта на PreparedStatements можете да се отървете от използването на единични кавички около стойностите.

• Как да предотвратя SQL инжектирането в PHP?