$резултат =mysql_query()

Вие, както се казва в коментара, използвате остарели функции, но за да отговорите на въпроса си, трябва да декларирате променлива, която да задържи стойността, след като я извлечете от базата данни, така че да можете да я използвате, когато пожелаете.

<?php
$result = mysql_query("SELECT banner_headline FROM low_engagement WHERE thread_segment = 'a3'", $connection);
if(!$result) {
    die("Database query failed: " . mysql_error());
}

$bannerHeadline = "";

while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
    $bannerHeadline = $row["banner_headline"];
}

echo $bannerHeadline; //use this wherever you want

?>