Предупреждение:mysql_num_rows() очаква параметър 1 да бъде ресурс, като е дадено булево

Това е така, защото mysql_query понякога връща булева false (грешка в заявката). Трябва да го проверите:

$amn = mysql_query("SELECT * FROM `Messages` WHERE to_user='$usr' AND read='0'");

if($amn === false) {
    var_dump(mysql_error());
}
else {
    print_r(mysql_num_rows($amn));
}

Кодът по-горе е написан в лош стил и не се препоръчва. Използвайте PDO с изключения в реални проекти.