MySql заявка:Изберете първите 3 реда от таблицата за всяка категория

LIMIT спира само броя резултати, които инструкцията връща. Това, което търсите, обикновено се нарича аналитични/прозорци/функции за класиране - които MySQL не поддържа, но можете да емулирате с помощта на променливи:

SELECT x.*
  FROM (SELECT t.*,
               CASE 
                 WHEN @category != t.category THEN @rownum := 1 
                 ELSE @rownum := @rownum + 1 
               END AS rank,
               @category := t.category AS var_category
          FROM TBL_ARTIKUJT t
          JOIN (SELECT @rownum := NULL, @category := '') r
      ORDER BY t.category) x
 WHERE x.rank <= 3

Ако не промените SELECT x.* , наборът от резултати ще включва rank и var_category стойности - ще трябва да посочите колоните, които наистина искате, ако това не е така.