Не е намерен подходящ драйвер за 'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql

В този конкретен случай (ако приемем, че Class#forName() не хвърли изключение; именно вашият код продължава да работи вместо да хвърля изключението), това SQLException означава, че Driver#acceptsURL() върна false за всеки от заредените драйвери.

И наистина, вашият JDBC URL е грешен:

String url = "'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Премахнете единичните кавички:

String url = "jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Вижте също:

• Мини урок за свързване на MySQL + JDBC