Как да форматирате само онези записи, за които не е хвърлен ORA-01843?

Използвайте CASE израз, който проверява състоянието на колоната и само условно се опитва да анализира като валидна дата:

SELECT
    MyColumn,
    CASE WHEN REGEXP_LIKE(MyColumn, '^\s*\d\d\d\d\d\d\s*$')
         THEN TO_CHAR(TO_DATE(TRIM(MyColumn), 'YYMMDD'), 'MM/DD/YYYY')
         ELSE MyColumn END AS new_col
FROM MyTable

Но като общ коментар, трябва да избягвате да съхранявате информация за дата във вашите таблици като текст. Сега виждате една от причините да избегнете това.