Как да направя тази MongoDB заявка с помощта на java?

В идеалния случай вашата mongoDB заявка трябва да бъде така:-

db.yourCollection.find({"startDate": {$lt: endDate}})

което може да се напише на Java така:-

BasicDBObject query = new BasicDBObject("startDate", new BasicDBObject("$lt", endDate);
DBCursor cursor = coll.find(query);

Можете да разгледате Официален урок

Ако искате да използвате QueryBuilder , можете да го направите по следния начин:-

DBObject query = QueryBuilder.start("startDate").lessThan("endDate").get();
DBCursor cursor = coll.find(query);