Шаблонните литерали не могат да се използват като ключ в обектен литерал. Вместо това използвайте изчислено свойство:
db.collection('connect').update({_id: id}, {$push: {[str]: item}});
// ^^^^^
Вижте също Използване на променлива за ключ в литерал на JavaScript обект
