Освен това това не е точният отговор, който търсите, но можете да се приближите доста с $in оператор:
db.i.find({
children : { $in : arr}
})
Имайте предвид, че това няма да доведе до горепосочения резултат (ще изведе всички стойности в масива, а не {_id:"1",children:["1.1"]}, ).
Но можете да следвате това, което предложих, и след това във вашето приложение да преминете през всички резултати и да изведете само пресичане на деца с вашия масив.
