как да задам ключ по var в mongoose,Node.js?

Синтаксисът за низови литерали в имената на обектни полета ви хапе тук. За да го заобиколите, създайте междинен обект и го изградете, без да използвате литерали:

var this_key = 'test';
var push = {};
push[this_key] = 'value';   // here, it will use the variable

mongoose.model('members', Schema).update(
   { id: '0' }, {$push: push} , [], function (err, data){});