Как да съпоставя точна фраза с динамичен низ в текстов индекс Mongodb?

Вашето запитване е неправилно. Трябва да промените заявката

db.words.find({ "$text": { "$search": `"\"${text}\"` } })

към

db.words.find({ "$text": { "$search": `\"${text}\"` } })

Тъй като има допълнителни двойни кавички (" ) в началото след първия обратен цитат. Това ще коригира вашата заявка.

Проста илюстрация:

console.log("\"cake sale\"");

var text = "cake sale";
console.log(`\"${text}\"`);
// both the console.log gives same result